Natuur, balans en harmonie

Lode Stevens

De speciale relativiteitstheorie (1905)

 

De eerste wortel van de speciale relativiteitstheorie ligt in de klassieke bewegingsleer (“Klassiek” noemt men alle fysica vanaf Newton tot aan het eind van de 19 de eeuw).

De twee eerste wetten van Newton luiden ( 1687):

1. Een lichaam waarop geen krachten werken volhart in zijn toestand van rust of eenparige beweging (wet v.d. traagheid).
2. Een kracht veroorzaakt een versnelling ( verandering van snelheid) die evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de massa van het lichaam, in formule K= ma.

Om deze wetten betekenis te geven is het noodzakelijk om een maatstaf van rust of eenparige beweging te definiëren ten opzichte waarvan deze wetten gelden. Newton baseerde zijn wetten op de noties van Absolute Ruimte en Absolute Tijd ( in verkorte vorm):

a. Absolute space, in its own nature, without relation to anything external, remains always similar and immovable.
b. Absolute time, of itself, and from its own nature, flows equably and without relation to anything external.
c. Absolute motion is the translation of a body from one absolute place into another.

Newton onderscheidt tussen de ware tijd en ruimte en de middelen om deze te meten. De hoeveelheid tijd die verloopt tussen twee gebeurtenissen heeft een absolute betekenis en is onafhankelijk van onze eventueel gebrekkige middelen om dit te meten. Analoog voor de afstand tussen twee lichamen.

Newton werd fel bestreden door Leibniz en Huygens: de ruimte is geen ding; plaats en snelheid zijn altijd van het ene lichaam ten opzichte van een ander lichaam. Dit standpunt heet relationisme.

 

Het relativiteitsprincipe van de klassieke bewegingsleer

 

Newton had de absolute ruimte nodig om aan de begrippen plaats, snelheid en versnelling in zijn wetten betekenis te geven. Tegelijkertijd hebben deze wetten een zeer merkwaardige eigenschap die het idee van een absolute ruimte ondermijnd. Zij gelden namelijk precies zo goed t.o.v. een referentiesysteem dat t.o.v. de onderstelde absolute ruimte met een constante snelheid beweegt : de eerste wet( maakt immers gen onderscheid tussen rust en eenparige beweging en in de tweede wet gaat het alleen over een verandering van de snelheid, niet over de snelheid zelf. De absolute waarde van de snelheid speelt nergens een rol. Deze ontdekking ligt aan de basis van de hele ontwikkeling van de natuurkunde sinds Galilei.

 

Wij kennen dit verschijnsel tegenwoordig maar al te goed: als je een tijdje in een vliegtuig zit weet je absoluut niet meer hoe hard je gaat; hetzelfde geldt als je bij dichte mist in een auto rijdt. Snelheid op zichzelf merk je niet. Alleen een verandering van snelheid merk je, bijv. Als het vliegtuig een bocht maakt of als je met je auto tegen een boom rijdt.

Dat snelheid geen absolute maar slechts een relatieve betekenis heeft wordt het relativiteitsprincipe genoemd.

Een referentiesysteem ten opzichte waarvan de wetten van Newton gelden, heet een inertiaalsysteem (traagheidssysteem) omdat t.o.v. zo een systeem de wet van de traagheid ( de eerste wet van Newton) geldt. Het referentiesysteem van de vaste sterren, ten opzichte waarvan we de planeten zien bewegen, is in hoge benadering een inertiaalsysteem. Elk referentiesysteem dat een constante snelheid heeft t.o.v. een inertiaalsysteem is zelf ook een inertiaalsysteem.

 

Het relativiteitsprincipe van de klassieke bewegingsleer luidt nu: alle inertiaalsysteem zijn voor de bewegingswetten gelijkwaardig. Dit zegt dus dat ‘absolute’ snelheid in de klassieke bewegingsleer geen rol speelt.

 

Maar wat bepaalt of een referentiesysteem een inertiaalsysteem is?

 

Volgens Newton is er één speciaal inertiaalsysteem dat gelijkwaardiger is dan alle andere: de absolute ruimte. Elk referentiesysteem dat T.o.v. de absolute ruimte in rust is of eenparig beweegt is een inertiaalsysteem. Maar het relativiteitsprincipe zegt dat het op grond van de verschijnselen onmogelijk is om uit te maken welk van de inertiaalsystemen de absolute ruimte is. Daarom ondermijnt het relativiteitsprincipe het hele idee van een absolute ruimte. Newton achtte de absolute ruimte nodig om zijn bewegingswetten te funderen, maar diezelfde wetten maken het principieel onmogelijk om de absolute ruimte waar te nemen.

Dat was koren op de molen van tegenstanders van Newton, zoals Huygens en Leibniz, maar bevredigend was de situatie voor hen toch niet. Zij verwierpen het bestaan van de ruimte als een ding; ruimte en tijd zijn volgens hen abstracties van ruimtelijke en temporele relaties tussen materiële lichamen. Maar zij konden geen verklaring geven voor het absolute verschil tussen eenparige en versnelde beweging en voor het bestaan van een bevoorrechte klasse van referentiesysteem, de inertiaalsystemen.

Niet alle referentiesystemen zijn inertiaalsystemen: in een referentiesysteem dat t.o.v. een inertiaalsysteem versneld is gelden de wetten van Newton niet!

T.o.v. zo een referentiesysteem kunnen lichamen waarop geen krachten werken toch versneld zijn.

N.b. iedere niet-eenparige beweging noemt men ‘versneld’. Dus ook als de snelheid afneemt of alleen maar van richting verandert spreekt men van een ‘versnelde’ beweging.

Het relativiteitsprincipe van de klassieke bewegingsleer is dus niet onbeperkt geldig, het geldt alleen voor de inertiaalsystemen. En ook in de speciale relativiteitstheorie blijven de inertiaalsystemen een bevoorrechte rol spelen, zoals we zullen zien. We begrijpen nu meteen wat Einsteins doel was bij de ontwikkeling van zijn Algemene Relativiteitstheorie: een formulering van de fysische wetten te geven die geldig is in ieder referentiesysteem, ook als dat geen inertiaalsysteem is. Of hij daarin is geslaagd zullen we nog zien.

 

Het principe van Mach

 

We zagen dat de schijnbaar eenvoudige wetten van Newton eigenlijk tamelijk mysterieus zijn. Ze zijn alleen maar geldig in een speciale klasse van referentiesystemen, de inertiaalsystemen. De vraag blijft: Wat is het dat bepaalt of een gegeven referentiesysteem een inertiaalsysteem is?

Newton postuleerde het bestaan van een absolute ruimte als basis voor de definitie van rust, eenparige en versnelde beweging. Zijn wetten van de planetenbewegingen blijken nauwkeurig geldig te zijn als men deze beweging beschouwt t.o.v. de achtergrond van de zichtbare sterren, de zgn. ‘vaste’ sterren (dat deze sterren ook bewegen kon pas veel later worden vastgesteld). Hij concludeerde dat het referentiekader van de vaste sterren samenviel met de absolute ruimte. De relationisten verwierpen de gedachten dat ruimte op zich iets zou kunnen doen. Volgens hen kan het geen toeval zijn dat de vaste sterren zo een geschikt referentiekader vormen.
Dit leidt tot de vraag:

 

Wat zou er gebeuren als de zon en een planeet zich geheel alleen in de lege ruimte zouden bevinden?

Volgens Newton zou de planeet nog steeds in een ellipsbaan om de zon bewegen omdat de absolute ruimte er nog steeds zou zijn. Die is immers “without relation to anything external”, d.w.z. onafhankelijk van wat er zich in bevindt. Maar volgens de relationisten is het idee dat de ruimte iets zou kunnen doen onzin. Volgens hen zou de planeet in een verder lege ruimte geen traagheid hebben: hij zou niet willen volharden in zijn toestand van beweging en hij zou op de zon vallen. Het is jammer dat wij dit experiment nooit zullen kunnen doen want de ruimte is niet leeg. Integendeel, er zijn miljarden melkwegstelsels die ieder miljarden sterren bevatten. Volgens het relationistische standpunt moet al deze materie in de kosmos de eigenlijke oorzaak zijn van de traagheid van massa’s, dus van de eerste wet van Newton. Het standpunt dat de totaliteit van de materie in de kosmos de eigenlijke oorzaak is van de traagheid werd door Einstein het principe van Mach genoemd, naar de fysicusfilosoof Ernst Mach ( 1838-1916) die dit standpunt verdedigde. Mach heeft zijn ideeën nooit uitgewerkt, maar ze hebben wel een grote invloed gehad op Einstein. Of Einstein in zijn relativiteitstheorie het principe van Mach heeft kunnen realiseren zullen we later zien.

De tweede wortel van de relativiteitstheorie ligt in de theorie van het elektromagnetisme, de andere grote theorie van de klassieke fysica (Maxwell 1873). Elektrische en magnetische verschijnselen worden theoretisch beschreven door elektrische en magnetische velden, een soort spanningstoestanden in een hypothetisch medium, de elektromagnetische ether. Maxwell ontdekte dat zich in dit medium elektromagnetische golven kunnen voortplanten met een snelheid van het licht (+/- 3000.000 km per seconde). Hij concludeerde dat licht een elektromagnetisch golfverschijnsel is. De ‘licht’snelheid bleek de fundamentele voortplantingssnelheid van alle elektromagnetische golven door de ether te zijn.

Aan het einde van de 19 de eeuw was duidelijk geworden dat materie bestaat uit atomen die zelf weer uit elektrisch geladen deeltjes bestaan. Dit leidde tot de visie dat elektromagnetische krachten de fundamentele krachten in de natuur zijn. Dit is vooral uitgewerkt door Lorentz. In zijn theorie speelt de ether, als veronderstelde drager van de elektromagnetische velden een fundamentele rol. De ether levert tevens een theoretische maatstaf voor absolute rust; het leek of Newtons absolute ruimte uiteindelijk toch was gevonden.

Maar net als bij de absolute ruimte bleek het niet mogelijk het bestaan van de ether experimenteel te bevestigen. Pogingen om bewegingen t.o.v. de ether aan te tonen door een effect daarvan op de lichtsnelheid faalden; altijd werd voor de lichtsnelheid de zelfde waarde gevonden. En hoewel de theorie onderscheid maakt tussen ladingen die wel of niet t.o.v. de ether bewegen, bleek het experimenteel slechts van belang hoe ladingen t.o.v. elkaar bewegen. Het relativiteitsprincipe leek dus ook voor elektromagnetische verschijnselen te gelden. Maar hoe rijm je dat met het feit dat de theorie een fundamentele snelheid kent, de lichtsnelheid, en een bevoorrecht referentiesysteem, de ether?

 

In 1905 bevrijdde Einstein de fysica uit deze impasse met een opmerkelijke oplossing. Hij postuleerde:

1. Het relativiteitsprincipe in onbeperkt geldig.
2. De lichtsnelheid is invariant.

Deze tegenstrijdige postulaten konden alleen maar met elkaar worden verzoend via een revolutionaire conclusie: tijd is relatief!

Een referentiesysteem heeft in de fysica niet alleen betrekking op de plaats maar ook op het tijdstip van gebeurtenissen. Einstein dacht zich zo een referentiesysteem voor ruimte en tijd opgebouwd uit maatstaven die de plaats bepalen en standaardklokken die overal waar nodig staan opgesteld en die de tijd ter plaatse aangeven. Deze klokken moeten echter met elkaar gelijkgezet worden. In de praktijk gebeurt dit m.b.v. lichtsignalen. Daartoe moet je wel de lichtsnelheid weten. Maar om die te meten heb je gelijkgezette klokken nodig. We zitten in een vicieuze cirkel. Einstein postuleerde nu dat de lichtsnelheid (in vacuüm) voor iedere waarnemer dezelfde waarde heeft en definieerde hiervan uitgaande wat onder de plaats en het tijdstip van een gebeurtenis moet worden verstraan. Nu treedt postulaat 1 in werking. Dit impliceert dat twee waarnemers die t.o.v. elkaar met een constante snelheid bewegen, ieder voor zich, op de boven beschreven manier een referentiesysteem voor ruimte en tijd kunnen opzetten. Voor beiden heeft bovendien de lichtsnelheid dezelfde waarde. Dit alles in overeenstemming met de bekende experimentele feiten. Maar dat impliceert dat er iets vreemds aan de hand is als twee waarnemers hun bepalingen van plaats en tijd met elkaar vergelijken. Het blijkt dan dat ze verschillende waarden vinden voor de tijd die tussen twee gebeurtenissen is verlopen. Maar omdat volgens postulaat

 

1 de twee referentiesystemen volkomen gelijkwaardig zijn impliceert dit dat het tijdsverschil tussen twee gebeurtenissen geen absolute betekenis heeft: tijd is relatief. Hetzelfde geldt voor afstanden. We hebben hier een radicale breuk met het tijd - en afstandsbegrip uit de klassieke fysica (vgl. wat Newton hierover zegt), en dit heeft consequenties die lijnrecht ingaan tegen onze intuïtie.

Deze theorie van Einstein wordt Speciale Relativiteitstheorie genoemd,’speciaal’ omdat alleen inertiële referentiesystemen worden beschouwd. De ether is uit de theorie verdwenen, er is geen medium: elektromagnetische golven planten zich voort in de lege ruimte.

Consequenties van de speciale relativiteitstheorie

 

Ruimte en tijd vormen een eenheid: ruimtetijd. Afstanden in ruimte en tijd zijn relatief. (Ruimte en tijd vormen een 4 –dimensionale pseudo-euclidische ruimte; de wereldlijn van een deeltje waarop geen krachten werken is een rechte ).

Gelijktijdigheid is relatief; het begrip’heden’ heeft geen absolute betekenis.

De eenvoudige optelwet van snelheden geldt niet meer: de lichtsnelheid is de maximale snelheid van een lichaam.

Tweelingen blijven niet even oud.

E=Mc2

Al deze wonderlijke gevolgen van zijn theorie werden door Einstein al in 1905 gezien. Deze effecten worden echter pas belangrijk bij relatieve snelheden die dicht bij de lichtsnelheid liggen en in 1905 konden ze niet direct worden waargenomen. Toch werd de theorie vrijwel meteen door de meeste fysici geaccepteerd omdat allerlei problemen er overtuigend door worden opgelost. Pas in 1941 werden relativistische effecten op afstanden in ruimte en tijd voor het eerst direct experimenteel bevestigd. Op dit moment zijn alle effecten die de theorie voorspelt in talloze experimenten met grote nauwkeurigheid geverifieerd. In deeltjesversnellers, waarin de deeltjes praktisch de lichtsnelheid hebben, zijn relativistische effecten zeer belangrijk en atoomklokken zijn nauwkeurig genoeg om het tweelingeffect zelfs bij aardse snelheden aan te tonen. De relatie E= MC2 tussen energie en massa ligt ten grondslag aan de kernenergie; de atoombom vormt er een gruwelijk bewijs van. Maar ook onze lieve zon is een grote kernreactor.

Rond 1900 hing de (speciale) relativiteitstheorie in de lucht: theorie en experiment wezen in deze richting. Maar de beslissende stap naar de relativiteit van de tijd en de aanvaarding van de daaruit volgende welhaast ongeloofwaardige consequenties was voorbehouden aan het genie van Albert Einstein.

 

De Algemene Relativiteitstheorie (1915)

 

Ook in de speciale relativiteitstheorie spelen de inertiaalsystemen een speciale rol: t.o.v. deze referentiesystemen hebben de wetten van de relativistische bewegingsleer en het elektromagnetisme hun eenvoudigste vorm. Einstein meende op principiële gronden dat de werkelijke fundamentele wetten van de natuurkunde een vorm moesten hebben die geldig was in ieder referentiesysteem; hij zocht naar een algemene relativiteitstheorie. In 1915 slaagde hij er in een dergelijke theorie te formuleren. Tegenwoordig vinden velen dat deze theorie in feite geen veralgemening inhoudt van het relativiteitsprincipe, maar eerder een wonderschone theorie is van de zwaartekracht. We moeten nu eerst iets zeggen over de zwaartekracht.

 

De universele zwaartekrachtwet van Newton

 

In de tweede wet van Newton treedt het begrip massa op als maat van verzet tegen verandering van snelheid: hoe groter de massa van een lichaam is hoe moeilijker het is om de snelheid van het lichaam te veranderen.

De massa van een lichaam treedt ook nog op in een andere belangrijke wet. Volgens Newton trekken twee lichamen elkaar aan met een kracht die evenredig is met hun massa en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun onderlinge afstand. Dit is de universele wet van de zwaartekracht. Met deze wet en zijn twee bewegingswetten slaagde Newton er in om de beweging van de planeten om de zon te verklaren. Deze wetten gelden zo nauwkeurig dat ze ook nu nog gebruikt worden voor de berekening van de banen van satellieten.

Omdat de zon zeer veel zwaarder is dan de planeten kunnen we de zon als een vast centrum beschouwen. Een planeet wordt naar de zon getrokken met een kracht die evenredig is met de massa van de planeet. Anderzijds verzet de planeet zich tegen de verandering van zijn snelheid in een mate die eveneens evenredig is met zijn massa. Het resultaat is dat de versnelling die de zon aan de planeet geeft ( en daarmee ook zijn baan) onafhankelijk is van de massa van de planeet.
Hetzelfde doet zich op kleinere schaal voor op aarde: in het zwaarteveld van de aarde vallen alle lichamen met dezelfde versnelling (in vacuum). Een van de eerste experimenten werd in 1586 gedaan door Simon Stevin en zijn vriend Johan Cornets de Groot (burgemeester van Delft en vader van Hugo). Vanaf de grote kerk in Delft lieten zij tegelijk een grote en een kleine loden kogel vallen op een plank aan de voet van de toren. Er was slechts één klap te horen. Sindsdien is deze eigenschap van zwaartekracht vele malen met steeds groter nauwkeurigheid getest.

 

Het Equivalentie Principe

 

Denkend over versnelde referentiesystemen kreeg Einstein in november 1907, zittend in zijn stoel op het patentenbureau, zijn, naar eigen zeggen, ‘gelukkigste inval’: Iemand die valt merkt van de zwaartekracht niets meer! Dat komt doordat alle delen van zijn lichaam en ook alle dingen in zijn directe omgeving, even snel vallen. In die tijd was dit alleen een gedachte-experiment: het is op aarde onmogelijk om gedurende langere tijd te vallen en de luchtweerstand bederft alles. Maar tegenwoordig kennen we deze situatie maar al te goed! Een ruimteschip in zijn baan is in vrije val in het zwaarteveld van de aarde en aan boord blijkt alles gewichtloos te zijn geworden. Met andere woorden: In het referentiesysteem van het ruimteschip is er geen zwaartekracht! Door over te gaan op een vrij vallend referentiesysteem kun je de zwaartekracht ter plaatse ‘wegtransformerend’. Omgekeerd kun je, door over te gaan op een versneld referentiesysteem, een zwaartekracht simuleren. Denk aan een lift die versneld omhoog gaat; het is dan net of je zwaarder bent geworden want je voeten drukken harder op de vloer van de lift. Een constant zwaarteveld en een constant versneld referentiesysteem zijn equivalent. Dit is het equivalentie principe, en dit opende voor Einstein de weg naar zijn Algemene Relativiteitstheorie.
Hoe dit in zijn werk gaat kan ik slechts summier schetsen en het is zeker niet zo dat de algemene relativiteitstheorie dwingend uit het equivalentie principe volgt.

 

Naar een gekromde ruimtetijd

 

Naast de zwaartekracht zijn er nog andere krachten, elektrische krachten, kernkrachten, enz. We denken die andere krachten echter weg en beschouwen alleen de zwaartekracht. Volgens het equivalentie principe kunnen we de zwaartekracht in een gegeven ruimtetijd punt wegtransformerend door over te gaan op een ‘meevallend’ referentiesysteem. Zo een referentiesysteem gedraagt zich als een inertiaalsysteem waarin er geen krachten zijn; we hebben daarin dus de situatie van de eerste wet van Newton: lichamen bewegen met constante snelheid langs rechte lijnen. In e terminologie van de speciale relativiteitssysteem geldt de vierdimensionale (pseudo-) euclidische meetkunde van de speciale relativiteitstheorie en de wereldlijnen van deeltjes zijn daarin rechten.

In het bovenstaande had ik het over de zwaartekracht in een gegeven ruimtetijd punt, d.w.z. op een gegeven plaats en tijd. Dat is een noodzakelijke toevoeging want de zwaartekracht is niet overal en altijd gelijk. Dat zien we hier op aarde al: hoe verder je van de aarde weggaat hoe zwakker de zwaartekracht wordt en als je langs de aarde beweegt veranderd de richting van de zwaartekracht voortdurend. Wat meevallend referentie-vrijvallende inertiaalsystemen hebben slechts lokale geldigheid. Dit in tegenstelling tot de inertiaalsystemen van de klassieke fysica die worden geacht zich over de hele ruimte uit te strekken. Het lokale systeem kan niet willekeurig worden uitgebreid: in een naburig ruimtetijdpunt zal i.h.a. een ander referentiesysteem vrij vallend zijn. De aaneenvoeging van al deze lokale systemen leidt tot het idee van een gekromde ruimtetijd!

 

Relativiteitstheorie deel 2