Natuur, balans en harmonie

Lode Stevens

In deze visie is er helemaal geen zwaartekracht, er is slechts een gekromde ruimtetijd. We zagen dat een deeltje lokaal een rechte wereldlijn heeft. De aaneenvoeging van al die stukjes geeft de rechts mogelijke lijn in een gekromde ruimtetijd. Een deeltje (waarop geen andere krachten werken) volgt de rechtst mogelijke lijn in de gekromde ruimtetijd. Zo een lijn heet ‘geodeet’.

 

Vergelijk dit met het aardoppervlak. Lokaal is dit “vlak”. Maar deze vlakke beschrijving kan niet over willekeurig grote afstand worden uitgebreid want de aarde is rond. Als we ons lokaal langs een rechte lijn bewegen, bewegen we ons globaal langs een rechtste lijn op het aardoppervlak, een geodeet. Op een bol zijn dat de grote cirkels. ( Een grote cirkel is de snijlijn van het boloppervlak met een vlak dat door het middelpunt van de bol gaat. De evenaar en de meridianen zijn voorbeelden van grote cirkels.)

Bij Einstein hebben we te maken met een vierdimensionale gekromde ruimtetijd die lokaal pseudo-euclidisch is, d.w.z. dat lokaal de speciale relativiteitstheorie geldt. De wereldlijn van een vrij deeltje is een rechtste lijn in deze gekromde ruimtetijd. Een essentieel verschil met een gewone gekromde ruimte is dat één van de dimensies de tijd is. Het idee dat onze driedimensionale ruimte gekromd is en dat dit misschien een aantal fysische verschijnselen zou kunnen verklaren, was al eerder geopperd, maar pas door de tijd als vierde dimensie toe te voegen kon dit idee succes hebben. Een richting in ruimtetijd legt ook de snelheid vast en bepaalt de hele geodeet.

In de Algemene Relativiteitstheorie is de zwaartekracht verdwenen en vervangen door de kromming van de ruimtetijd. Wat in de oude theorie werd gezien als de vrije val van een deeltje in het zwaarteveld wordt nu gezien als het volgen van de rechtste wereldlijn in de gekromde ruimtetijd. De zwaartekracht is”vermeetkundigd”. Dit is mogelijk doordat de massa van een deeltje voor de beweging in een zwaarteveld geen rol speelt zoals we zagen; de beginpositie en beginsnelheid van het deeltje zijn voldoende om de hele baan te bepalen. Terwijl de (lokale) equivalentie van zwaartekracht en versnelling bij Newton een opmerkelijk maar toevallig feit was, is het voor de theorie van Einstein het essentiële uitgangspunt.

 

Materie kromt de ruimtetijd

 

De volgende vraag is: Hoe is de ruimtetijd gekromd? Aangezien de kromming in de plaats komt van de zwaartekracht heeft de kromming dezelfde oorzaak als de zwaartekracht, namelijk de massa van de aanwezige materie. Einstein zocht dus naar een massa van de aanwezige materie. Einstein zocht dus naar een vergelijking van de vorm: kromming= massa. Deze vergelijking moest aan een aantal eisen voldoen, bijv. De eis dat onder condities zoals die gelden in ons zonnestelsel de nieuwe zwaartekrachtstheorie hetzelfde moest opleveren als de zo succesvolle theorie van Newton. Pas na een lange worsteling o.a. met de gecompliceerde wiskunde van een gekromde ruimtetijd, lukte het hem om een bevredigende relatie tussen materie en kromming te vinden; het resultaat zijn de beroemde Einstein -vergelijkingen van 1915 die meestal als volgt worden weergegeven:

Rµv-1/2 gµvR=-kTµv
(kromming) = (massa)

Dit is een zeer verkorte schrijfwijze voor een buitengewoon gecompliceerd stelsel van 10 differentiaalvergelijkingen voor de 10 componenten van de metrische tensor gµ? van de vierdimensionale ruimtetijd. Rµ?,R, gµ? en Tµ? zijn functies van ruimte en tijd. Tµ? vertegenwoordigt de massa en energie – impuls van de aanwezige materie.
Rµ? zn R zijn ingewikkelde functies van gµ? en de eerste en tweede afgeleiden daarvan. De constante k=8?G/c4 bepaalt hoe sterk de invloed van de materie op de ruimtetijd is. Wat deze vergelijkingen vooral zo moeilijk maakt is het feit dat de kromming van ruimtetijd zelf ook energie (en dus massa) vertegenwoordigt en zo dus ook tot zichzelf bijdraagt. Er bestaat geen algemene methode om deze vergelijkingen op te lossen; tot nog toe is het alleen in de allereenvoudigste gevallen gelukt om oplossingen te vinden.

 

Einsteins principes

 

Kenmerkend voor het werk van Einstein is dat hij zich baseerde op algemene principes. Terwijl Maxwell en zijn tijdgenoten moeizaam trachtten modellen voor de elektromagnetische ether te construeren, en Lorentz op basis van de bestaande theorie een verklaring trachtte te geven voor het merkwaardige feit dat de lichtsnelheid onder alle omstandigheden dezelfde waarde blijkt te hebben, maakte Einstein de constante lichtsnelheid tot een basisprincipe van zijn theorie. Wat Lorentz wilde verklaren nam Einstein eenvoudigheid als uitgangspunt. Evenzo verhief Einstein het relativiteitsprincipe van de klassieke mechanica, de gelijkwaardigheid van alle inertiaalsystemen, tot universeel principe. Dat daartoe radicale ingrepen in de bestaande theorie nodig waren, zoals het ontnemen van het absolute karakter aan de tijd, hield hem niet tegen. De rechtvaardiging achteraf was de grote conceptuele verheldering die de nieuwe theorie gaf en het experimentele succes.

 

Het is geen wonder dat Einstein zich bij het zoeken naar een nog verdere generalisatie van zijn speciale relativiteitstheorie opnieuw liet leiden door algemene principes: het principe van algemene relativiteit, het equivalentieprincipe, het principe van Mach en het principe van algemene covariantie.

Al deze principes hebben voor hem een beslissende rol gespeeld bij het vinden van de Einstein vergelijkingen. Des te merkwaardiger is het dat volgens huidige inzichten het principe van algemene relativiteit en het principe van Mach in de Algemene Relativiteitstheorie niet zijn vervuld en dat het principe van algemene covariantie als een zuiver wiskundige eis zonder fysische inhoud wordt beschouwd.

“Het principe van algemene covariantie zegt, in de formulering van Einstein (1916), dat de fundamentele vergelijkingen van de theorie een vorm moeten hebben die geldig is in ieder coördinaten systeem. Einstein meende dat het principe van algemene covariantie het principe van algemene relativiteit impliceert”.
Of het principe van algemene relativiteit in de Algemene Relativiteitstheorie al of niet is vervuld hangt af van hoe je het relativiteitsprincipe opvat. Tegenwoordig ziet men dit als een symmetrieprincipe van ruimte en tijd. De Euclidische ruimte is homogeen en isotroop, d.w.z. invariant bij verschuivingen en draaiingen. In de Speciale Relativiteitstheorie komt de tijdsdimensie erbij en de invariantie omvat nu ook verschuivingen in de tijd en ruimtetijd – draaiingen (Lorenztransformaties). Deze symmetrie van de ruimtetijd is equivalent met het bestaan van bevoorrechte coördinatensystemen, de inertiaalsystemen, en het relativiteitsprincipe van de speciale relativiteitstheorie zegt dat alle inertiaalsystemen voor de beschrijving van de fysische verschijnselen gelijkwaardig zijn. Deze verschijnselen verlopen aan boord van een vliegtuig precies zo als in de huiskamer. Het is niet mogelijk om op grond van fysische verschijnselen het ene inertiaalsysteem te onderscheiden van het andere.

Bij de overgang naar de algemene relativiteitstheorie wordt de symmetrische ruimtetijd van de speciale relativiteitstheorie vervangen door een willekeurig gekromde ruimtetijd. Deze heeft in principe geen enkele symmetrie en er zijn in principe geen bevoorrechte coördinatensystemen. Als we het relativiteitsprincipe dus zien als een symmetrieprincipe van de ruimtetijd dat is dit in de algemene relativiteit niet veralgemeend. En omdat er geen bevoorrechte coördinatensystemen zijn is men wel gedwongen de theorie te formuleren op een manier die geldig is bij een willekeurige keus van coördinaten. D.w.z. wat Einstein het principe van algemene covariantie noemde is niets anders dan een noodzakelijke, wiskundige eis. Tegenwoordig heeft men het daarom meestal liever niet over de Algemene Relativiteitstheorie, maar over “Einsteins theorie van de zwaartekracht”.

Er zijn andere formuleringen van het principe van algemene covariantie gegeven die wel een betekenisvolle inhoud hebben en het is denkbaar dat Einstein een dergelijke formulering voor ogen had. De discussie over deze kwestie is nog steeds volop aan de gang. Wel een bewijs voor de ingewikkeldheid van deze materie.

Einsteins tweede “leitmotiv” was het principe van Mach. Dit is zeker voor een deel vervuld: de ruimtetijd is niet meer gegeven, onveranderlijke achtergrond waartegen de verschijnselen zich afspelen, maar wordt zelf, in overeenstemming met het oude fysische principe van actie= reactie, ook beïnvloed door de materie; de ruimtetijd is dynamisch geworden. Toch is het niet zo dat de traagheid volledig wordt veroorzaakt door de materie, zoals Mach het wilde, of dat ruimtetijd zelfs helemaal niet kan bestaan als er geen materie is. Ook als de materie - tensor Tµv nul is hebben de Einstein -vergelijkingen interessante oplossingen waarin de wet van de traagheid geldt. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd wordt de droom der relationisten door de relativiteitstheorie niet vervuld. Aan het eind van zijn leven kwam Einstein zelf tot de conclusie dat we het principe van Mach maar beter kunnen vergeten.

 

Er is nog een interessante wending in Einsteins visie op de natuurkunde. In 1905, bij de formulering van zijn Speciale Relativiteitstheorie, was zijn uitgangspunt de concrete fysische werkelijkheid: hij beschouwde echte materiele meetlatten en echte klokken. Hij was op dat moment een volbloed empirist. En de haast achteloze wijze waarop hij het aloude probleem van de ether oploste door te verklaren dat hij de invoering van zoiets onwaarneembaars in zijn theorie niet nodig had, was geheel in de lijn van het positivisme. Toen Minkowski in 1908 let zien dat de speciale relativiteitstheorie kan worden opgevat als de meetkunde van een vierdimensionale ruimtetijd was Einstein daar aanvankelijk niet enthousiast over: hij vond het maar onnodig moeilijkdoenerij van wiskundigen. Maar slechts enkele jaren later was deze meetkundige visie voor hem essentieel bij het vinden van zijn algemene relativiteitstheorie, zijn meetkundige theorie van de zwaartekracht. Hij was hierdoor zelfs zo gegrepen dat hij de rest van zijn leven wijdde aan het vinden van een ‘unified field theory’, een meetkundige theorie van ‘Alles’. De wiskunde was de basis van zijn natuurkunde geworden; je zou kunnen zeggen dat Einstein eindigde als een rationalist. Voor een rationalist is de rede de bron van onze kennis. Wat Einstein wel zijn hele leven is gebleven is een fysisch realist: er bestaat een fysische werkelijkheid die onafhankelijk is van de mens, en het is de taak van de fysica om die werkelijkheid te beschrijven. Juist met dit standpunt kwam hij in botsing met de quantummechanica.

 

 

Enkele consequenties van de algemene relativiteitstheorie

 

 

1. De algemene relativiteitstheorie van het elektromagnetisme, een veldtheorie,een theorie over het zwaartekrachtsveld. In deze theorie heeft de zwaartekracht, net als de elektromagnetische kracht, een eindige voortplantingssnelheid die eveneens gelijk is aan de lichtsnelheid. In de relativiteitstheorie is er een fundamentele snelheid die alleen op historische gronden de ‘lichtsnelheid’ wordt genoemd.

2. Analoog aan het electromagnetisch –geval impliceert de algemene relativiteits theorie het bestaan van zwaartekrachtsgolven, rimpelingen in de kromming van ruimtetijd, die zich voortplanten met de lichtsnelheid. Het is een van de grote projecten van de huidige experimentele natuurkunde om het bestaan van zulke golven direct aan te tonen.

3. Als de zwaartekracht niet al te groot is, zoals in de omgeving van de zon, geeft de algemene relativiteitstheorie in hoge benadering dezelfde uitkomsten als de zwaartekrachtstheorie van Newton. Dat is maar goed ook want de theorie van Newton klopt ontzettend goed voor ons zonnestelsel. Maar één verschijnsel kon deze theorie niet verklaren: de periheliumprecessie van Mercurius, d.i. een langzame rotatie van de lange as van de ellipsbaan. T.g.v. allerlei storende effecten zijn de banen van de planeten geen zuivere ellipsen. Omstreeks 1859 was men er in geslaagd om op grond van de theorie van Newton van al deze effecten rekenschap te geven. Alleen een deel van de periheliumprecessie van Mercurius kon men niet verklaren. Het ging om een rotatie van slechts +/- 43” per eeuw op een totaal van ongeveer 500”. (1”=1 boogsecond = de hoek waaronder je een munt van één euro ziet op een afstand van 100m afstand. De algemene relativiteitstheorie geeft een periheliumprecessie voor alle planeten. De baan van een planeet is volgens de algemene relativiteitstheorie dus geen ellips maar een rozet. In ons zonnestelsel is het verschil maar heel klein; het is het groots voor de planeet die het snelst beweegt, Mercurius. Het met de Einstein-vergelijking berekende effect geeft precies de ontbrekende 43” binnen de meetnauwkeurigheid. Dit fantastische resultaat van zijn algemene relativiteitstheorie, dat op geen enkele manier van tevoren in de theorie was gestopt, bezorgde Einstein naar eigen zeggen de grootste gelukservaring van zijn leven.

4. Ook lichtstralen volgen geodeten in de gekromde ruimtetijd. Als licht van een ster dicht langs de zon gaat kan de kromming van ruimtetijd in de nabijheid van de zon worden waargenomen. Het effect is klein en de waarneming zeer moeilijk. De eerste waarnemingen werden in 1919 gedaan, de laatste in 1973. De resultaten kloppen binnen de geringe meetnauwkeurigheid met Einsteins theorie.

5. Ook in de algemene relativiteitstheorie is er een effect op de tijd: de zwaartekracht beïnvloedt de gang van klokken. Een klok op zeeniveau loopt langzamer dan een klok op een berg. Dit effect is zeer nauwkeurig vastgesteld m.b.v. atoomklokken en bij het vergelijken van zulke klokken moet men met de hoogte terdege rekening houden.

6. De zwaartekracht is een relatief zeer zwakke kracht. Onze aarde wordt er niet door samengedrukt omdat het aardmateriaal stevig genoeg is om de druk van de aardse zwaartekracht te weerstaan. Maar de zwaartekracht neemt toe met de massa van een lichaam en als de massa groot genoeg is overwint de zwaartekracht elke andere kracht en het lichaam stort in. Dit kan optreden bij sterren. De zwaartekracht is dan zo groot dat zelfs licht niet meer van de ster kan ontsnappen; vandaar de naam: “zwart gat”. Wat er precies gebeurd bij deze instorting is moeilijk te zeggen. Astronomen geloven dat de kosmos vol zit met zwarte gaten.

7. Op grote schaal lijkt de kosmos homogeen te zijn. Onder die omstandigheid kunnen Einstein-vergelijkingen worden opgelost. Er blijken geen statische oplossingen te zijn: de ruimtetijd dijt uit of krimpt in. In 1917 beschouwde Einstein dit als een ernstig mankement van zijn theorie. Pas in 1929 kwam Hubble’s grote ontdekking dat het heelal uitdijt. Uit de Einstein-vergelijkingen volgt dat de straal van een uitdijend heelal een eindige tijd geleden nul was. De dichtheid en druk van de materie waren toen oneindig groot: de kosmos begon met een “big bang”. Dit is geen knal in de ruimte. Volgens de algemene relativiteitstheorie ontstonden ruimte en tijd in de Big Bang. De vraag:” Wat gebeurde er voor de Big Bang? Heeft in deze theorie dus geen zin.

De speciale relativiteitstheorie is een van de belangrijkste en best geverifieerde fundamentele fysische theorieën. Je kunt zeggen dat deze theorie al voor 1905 in de lucht hing, maar het was Einstein die de beslissende stap zette, die de relativiteit van de tijd afkondigde en de vergaande gevolgen daarvan doorzag en aanvaardde, lang voordat deze gevolgen daadwerkelijk konden worden aangetoond. De algemene relativiteitstheorie is echter de schepping van Einstein alleen. In de jaren na 1915 konden slechts enkele zeer kleine gevolgen van deze theorie worden berekend en experimenteel worden geverifieerd. Grote effecten waren alleen op kosmische schaal te verwachten. Dit feit en de onhandelbaarheid van de Einstein-vergelijkingen maakten dat de algemene relativiteitstheorie gedurende tientallen jaren een zeer teruggetrokken bestaan leidde en slechts door een handvol fysici werd bestudeerd. Hierin is grote verandering gekomen door de enorme uitbreiding van onze kennis van de kosmos en door nieuwe methoden om de moeilijke wiskunde van de theorie aan te pakken. Gezien het sterk theoretisch gehalte van de algemene relativiteitstheorie zou het niemand hebben verbaasd als zou zijn gebleken dat de algemene relativiteitstheorie door de nieuwe feiten niet wordt gesteund. Het tegendeel is echter het geval: alle op dit moment bekende feiten zijn in overeenstemming met de algemene relativiteitstheorie en niet met alternatieve theorieën.

Onze huidige visie op fundamentele krachten volgt echter niet de lijn van Einstein, maar is gebaseerd op de quantummechanica, aan het ontstaan waarvan Einstein belangrijk heeft bijgedragen maar die hij tenslotte niet kon aanvaarden als een fundamentele theorie. De grote opgave van de huidige theoretische fysica is de quantumgravitatie, de vereniging van quantumtheorie en zwaartekracht onder omstandigheden waarin beide van belang zijn zoals in zwarte gaten en de Big Bang. Dit is ondanks heel veel werk nog niet gelukt en wellicht is er een nieuwe Einstein nodig om hier de doorbraak te forceren. Maar het lijkt zeker dat zo een theorie onze visie op ruimte en tijd opnieuw radicaal zal veranderen.

Relativiteitstheorie deel 3